Работа машины тьюринга. Машина Тьюринга

Один из важнейших вопросов современной информатики — существует ли формальный исполнитель, с помощью которого можно имитировать любого формального исполнителя. ответ на этот вопрос был получен почти одновременно двумя выдающимися учеными — А. Тьюрингом и Э. Постом. Предложенные ими исполнители отличались друг от друга, но оказалось, что они могут имитировать друг друга, а главное — имитировать работу любого формального исполнителя.

Что такое формальный исполнитель? Что значит — один формальный исполнитель имитирует работу другого формального исполнителя? Если Вы играли в компьютерные игры — на экране объекты беспрекословно подчиняются командам играющего. Каждый объект обладает набором допустимых команд. В то же время компьютер сам является исполнителем, причем не виртуальным, а реальным. Вот и получается, что один формальный исполнитель имитирует работу другого формального исполнителя.

Рассмотрим работу Машины Тьюринга.

Машина Тьюринга представляет собой бесконечную ленту, поделенную на ячейки, и каретку (считывающе-печатающее устройство), которая движется вдоль ленты.

Таким образом Машина Тьюринга формально описывается набором двух алфавитов:

A={a1, a2, a3, …, an} — внешний алфавит, служит для записи исходных данных

Q={q1, q2, q3,…, qm} — внутренний алфавит, описывает набор состояний считывающе-печатного устройства.

Каждая ячейка ленты может содержать символ из внешнего алфавита A = {a0,a1,…,an} (В нашем случае A={0, 1})

Допустимые действия Машины Тьюринга таковы:

1) записать какой-либо символ внешнего алфавита в ячейку ленты (символ, бывший там до того, затирается)

2) сместиться в соседнюю ячейку

3) сменить состояние на одно из обозначенных символом внутреннего алфавита Q

Машина Тьюринга — это автомат, который управляется таблицей.

Строки в таблице соответствуют символам выбранного алфавита A, а столбцы — состояниям автомата Q = {q0,q1,…,qm}. В начале работы машина Тьюринга находится в состоянии q1. Состояние q0 — это конечное состояние, попав в него, автомат заканчивает работу.

В каждой клетке таблицы, соответствующей некоторому символу ai и некоторому состоянию qj, находится команда, состоящая из трех частей
· символ из алфавита A
· направление перемещения: «>» (вправо), «<» (влево) или «.» (на месте)
· новое состояние автомата

В приведенной выше таблице алфавит A ={0, 1, _} (содержит 3 символа), а внутренний алфавит Q={q1, q2, q3, q4, q0}, q0 — состояние, заставляющее каретку остановиться.

Рассмотрим несколько задач решением. Скачать машину Тьюринга Вы можете на сайте в разделе .

Задача 1. Пусть A={0, 1, _}. На ленте в ячейках находятся символы из алфавита в следующем порядке 0011011. каретка находится над первым символом. Необходимо составить программу, которая заменит 0 на 1, 1 на 0 и вернет каретку в первоначальное положение.

Теперь определимся с состояниями каретки. Я называю их — «желания каретки что-то сделать».

q1) Каретка должна пойти вправо: если видит 0 меняет его на 1 и остается в состоянии q1, если видит 1 — меняет его на 0 и остается в состоянии q1, если видит _ — ворачивается назад на 1 ячейку «желает что-то другое», т.е переходит в состояние q2. Запишем наши рассуждения в таблицу исполнителя. Синтаксис смотрите в справке к программе)

q2) Теперь опишем «желание каретки» q2. Мы должны вернуться в первоначальное положение. Для этого: если видим 1 оставляем ее и остаемся в состоянии q2 (с тем же желанием дойти до конца ряда символов); если видим 0 — оставляем его и продолжаем двигаться влево в состоянии q2; видим _ — сдвигается вправо на 1 ячейку. Вот вы оказались там, где требуется в условии задачи. переходим в состояние q0.

Посмотреть работу программы можно на видео:

Задача 2. Дано: конечная последовательность 0 и 1 (001101011101). Необходимо выписать их после данной последовательности, через пустую ячейку, а в данной последовательности заменить их на 0. Например:

Из 001101011101 получим 000000000000 1111111.

Как видите, семь единиц записались после данной последовательности, а на их местах стоят нолики.

Приступим к рассуждениям. Определим, какие состояния необходимы каретке и сколько.

q1) увидел 1 — исправь на нолик и перейди в другое состояние q2 (новое состояние вводится, чтобы каретка не поменяла на нули все единицы за один проход)

q2) ничего не менять, двигаться к концу последовательности

q3) как только каретка увидела пустую ячейку, она делает шаг вправо и рисует единичку, если она видит единичку — то движется дальше, чтобы подписать символ в конце. Как только нарисовал единицу, переходим в состояние q4

q4) проходим по написанным единицам, ничего не меняя. Как только доходим до пустой ячейки, разделяющей последовательность от единиц, переходим с новое состояние q5

q5) в этом состоянии идем начало последовательности, ничего не меняя. Доходим до пустой ячейки, разворачиваемся и переходим в состояние q1

Состояние q0 каретка примет в том случае, когда она пройдет в состоянии q1 до конца данной последовательности и встретит пустую ячейку.

Получим такую программу:

Работу Машины Тьюринга можете посмотреть на видео ниже.

В логике с помощью понятия машины Тьюринга строится теория неразрешимых проблем, однако в вычислительной практике чаще приходится иметь дело с разрешимыми, но “трудно решаемыми” проблемами. Выбирая и здесь в качестве вычислительной модели машину Тьюринга, мы руководствуемся тем, что она проста и допускает те же языки, что и компьютер, причем сложность вычислений на машине Тьюринга полиномиальна от числа шагов компьютера.

Машина Тьюринга представляет собой абстрактную вычислительную машину, состоящую из управления с конечным числом состояний и бесконечной ленты, разделенной на ячейки, в каждой из которых хранится один ленточный символ, и одна из ячеек является текущей позицией ленточной головки. Формальная запись машины Тьюринга - это упорядоченный набор M = (X, Q, q 0 , F, I), где

X – внешний алфавит символов (букв на ленте), включающий символ L;

Q – конечный алфавит внутренних состояний;

q 0 – инициальное состояние (начало работы), q 0 Î Q;

F– множество заключительных состояний, FÌ Q;

I - множество инструкций, или машинных команд, каждая из которых принадлежит множеству (Q \ F) ´ X ´ {®} ´ Q ´ X ´ {R,L,S}.

Переходы осуществляются на основе текущего состояния и обозреваемого считывающей головкой символа к следующему состоянию, переписыванию символа и сдвигу головки (вправо R, влево L, на месте S).

Можно определить функцию переходов

d: (Q \ F) ´ X* ® Q ´ X* ´ {R,L,S}, где X* -слова в алфавите X.

В случае однозначной функции d машина Тьюринга называется детерминированной машиной Тьюринга.

Текущей конфигурацией машины Тьюринга называют цепочку значащих (отличных от L) символов, записанных на ленте в данный момент времени, вместе с символом состояния, помещенным в цепочку перед обозреваемым символом.

Останов (завершение работы) происходит в заключительном состоянии или когда левая часть (до ®) ни одной из машинных команд не содержится в полученной конфигурации. Говорят, что машина допускает вход, если она останавливается на нем в заключительном состоянии.

В качестве примера рассмотрим работу детерминированной машины Тьюринга, вычисляющей функцию ïm - nï. Упорядоченную пару натуральных чисел (m,n) представляем как слово 0 m 10 n в алфавите X \ {L} = {0,1}, ячейки слева и справа от которого содержат символ L.

Q 0 0 ® LRq 1 Состояния Символ

Q 1 0 ® 0Rq 1 0 1 L

q 1 1 ® 1Rq 2 q 0 LRq 1 1Sq 5 0Sq 5

q 2 0 ® 1Lq 3 q 1 0Rq 1 1Rq 2 ¾

q 2 1 ® 1Rq 2 q 2 1Lq 3 1Rq 2 LLq 4

q 3 1 ® 1Lq 3 q 3 0Lq 3 1Lq 3 LRq 0

q 3 0 ® 0Lq 3 q 4 0Lq 4 LLq 4 0Sq 5

q 3 L ® LRq 0 q 5 ¾ LRq 5 ¾

q 2 L ® LLq 4 *

q 4 1 ® LLq 4 Таблица 1. Программа вычисления функции ôm - nô,

q 4 0 ® 0Lq 4 где функция переходов задается таблицей

q 0 1 ® 1Sq 5 *

Машина Тьюринга M допускает (отвергает) слово wÎ X * , если она останавливается на нем, придя в допускающее (заключительное) состояние. Машина допускает язык LÍ X * , если она допускает все слова языка L. Машина M распознает язык LÍ X * , если она допускает все слова из L и останавливается на словах из X * \ L, не находясь в заключитель ном состоянии. Языки, допускаемые машиной Тьюринга, назовем рекурсивно перечислимым.

Язык L допускается (распознается) за полиномиальное время , если существует машина M, которая допускает (распознает) язык L, причем всякое слово wÎ L допускается (распознается) за время O(n k), где n – длина слова w, а k – не зависящее от w число.

Теперь можно определить класс P, как множество языков LÍ {0,1} * , распознаваемых за полиномиальное время.

Теорема. Класс P есть множество языков, допускаемых за полиномиальное время.

Доказательство. В одну сторону тривиально, если машина M распознает язык L, то она и допускает язык L. Обратно, пусть язык L допускается машиной M за время O(n k), т.е. существует константа c, что любое слово из L длины n допускается не более, чем за T = c×n k шагов. С другой стороны, слова, не принадлежащие L, не допускаются ни за какое время. Построим машину M * , которая на слове w моделирует не более Т = c×n k шагов машины M и останавливается, выдавая 1, если M(w)=1, в противном случае - останавливается, сделав Т = c×n k шагов, выдавая на выход 0. Таким образом, машина M * распознает язык L и сложностной класс P можно рассматривать, как множество языков, допускаемых за полиномиальное время. “

Многоленточная машина Тьюринга.

Для имитации работы компьютера используются многоленточные машины Тьюринга. В начальной конфигурации многоленточной машины на первой ленте размещается вход (конечная последовательность символов, куда не входит L), все клетки остальных лент содержат символ L, считывающие головки всех лент находятся в начальном состоянии.

За один переход осуществляются следующие действия:

Управление переходит в новое состояние,

На каждой ленте записывается новый (или тот же) символ;

Считывающие головки каждой из лент независимо сдвигаются на одну ячейку (R,L,S).

Языки, допускаемые одноленточными машинами Тьюринга, рекурсивно перечислимы. Допустимы ли многоленточными машинами не рекурсивно перечислимые языки? Ответ в следующей теореме.

Теорема. Каждый язык L, допускаемый многоленточной машиной Тьюринга, рекурсивно перечислим.

Доказательство. Одноленточную машину Тьюринга можно представить, как многодорожечную , задавая ее аргументы в виде кортежей. При этом одна дорожка хранит данные, а другая отметку. Смоделируем k - ленточную машину M как многодорожечную машину N, содержащую 2k дорожек, где каждая вторая содержит маркер, указывающий позицию головки соответствующей ленты. Машина N должна посетить каждый из маркеров головок k лент и изменить соответствующим образом символ, представляющий соответствующую ленту, перемещая маркер в том направлении, как это происходило на соответствующей ленте. Наконец, N изменяет состояние М, записанное в конечном управлении N. В качестве допускающих состояний N выбираются все те состояния, в которых запоминалось допускающее состояние M. Таким образом, машина M и N одновременно допускают язык L. Но все языки, допускаемые одноленточной машиной N, рекурсивно перечислимы, поэтому рекурсивно перечислимы все языки, допускаемые многоленточной машиной M. “

Теорема. Время, необходимое одноленточной машине N для имитации n переходов k-ленточной машины M, есть O(n 2).

Доказательство. После n переходов машины M маркеры головок разделены не более, чем 2n клетками, так что и машине N надо сдвинуться не более, чем на 2n клеток вправо, чтобы найти все маркеры головок. Теперь ей надо совершить проход влево, изменяя содержимое M лент и сдвигая головочные маркеры, что потребует не более 2n сдвигов влево плюс не более 2k переходов для изменения направления движения и записи маркера в клетку. Таким образом, число переходов N для имитации одного из переходов машины M не более 4n+2k, т.е. O(n). Для n переходов требуется времени в n раз больше, т.е. O(n 2). “

Различие во времени вычисления на машинах с разным числом лент сохраняет полиномиальную сложность и для одноленточной машины ограничено с×T(n) 2 , а емкость - с×S(n) (для входа длины n), где T(n), S(n) – параметры k-ленточных машин. Зависимость между емкостью и временем для k-ленточных машин линейная: S £ kT; для входа w длины n

Недетерминированные машины Тьюринга.

По причинам, которые вскоре будут понятны, недетерминированные машины Тьюринга являются ключевым понятием в теории NP-полных задач. Недетерминированная машина Тьюринга отличается от обычной (детерминированной) машины Тьюринга тем, что может иметь более одного перехода от текущей конфигурации к следующей. Недетерминированная машина допускает слово w, если существует хотя бы одна цепочка конфигураций, ведущая от начальной конфигурации в заключительную. Существование других последовательностей конфигураций, не ведущих в заключительное (допускающее) состояние не имеет значение. Работу недетерминированной машины на входе w можно представить в виде дерева, где каждый путь из корня w в лист представляет некоторую последовательность возможных шагов машины. Если s w кратчайшая последовательность возможных шагов работы машины, которая оканчивается допускающей конфигурацией, то ½s w ½ есть время, затраченное машиной на обработку входа w. Если на входе w никакая последовательность не приводит к допускающей конфигурации, то время, затраченное на обработку w не определено. Считается, что недетерминированная машина Тьюринга на входе w параллельно выполняет все возможные последовательности шагов, пока не достигнет допускающего состояния или окажется, что ее программа не применима к полученной конфигурации.

Остается открытым вопрос, существуют ли языки, допускаемые недетерминированной машиной Тьюринга с данной временной и емкостной сложностью и не допускаемые никакой детерминированной машиной с той же сложностью.

Недетерминированные машины Тьюринга допускают те же языки, что и детерминированные. Однако, надо заметить, что последним приходится за это расплачиваться сильным увеличением временной сложности.

Обозначим через L(M) множество всех слов wÎX*, допускаемых машиной M, L(M) называют языком машины M.

Теорема. Если M недетерминированная машина с полиномиальной временной сложностью T(n), то существует детерминированная машина M ’ , с L(M ’ ) = L(M) и временной сложностью O(c T(n)).

Доказательство. Доказательство основывается на том, что для любой недетерминированной машины Тьюринга M строится детерминированная машина M ’ , которая исследует последовательности конфигураций (пути в дереве недетерминированной машины) и если находит хотя бы одну с допускаемым состоянием, то сама переходит в допускаемое состояние. Обследованные конфигурации помещаются в очередь, длины k (k=1,2…) Построим детерминированную многоленточную машину M ’ , моделирующую недетерминированную машину M. Первая лента машины M ’ хранит последовательность конфигураций машины M и метку на текущее состояние последней. Записи слева от метки предполагаются исследованными и их в дальнейшем игнорируют. Конфигурации справа рассматриваются в порядке очереди. Программа машины M хранится в конечном управлении M ’ . Обработка текущей конфигурации на первой ленте состоит в следующем:

Машина M ’ проверяет состояние и обозреваемый символ и, если состояние допускающее, также переходит в допускающее состояние.

Если состояние не допускающее и из данной конфигурации есть k переходов, то M ’ использует вторую ленту для создания k копий, которые записываются в конце очереди на ленте 1.

M ’ изменяет k конфигураций в соответствии с программой машины M.

M ’ перемещает отметку текущей конфигурации на следующую справа и цикл повторяется с шага 1.

Допустим, что m есть максимальное число выборов машины M в любой конфигурации. Тогда существует одно начальное состояние M, не более m конфигураций, достижимых за 1 шаг, не более m 2 конфигураций, достижимых за 2 шага и т.д. Таким образом, после n переходов машина M может достичь не более 1+ m +m 2 +…+m n £ n×m n конфигураций. Порядок, в котором машина M ’ исследует конфигурации, называется “поиском в ширину”, т.е. M ’ исследует все достижимые конфигурации машины M за 0 шагов, достижимые за 1 шаг и т.д.

Допускающая конфигурация машины M будет рассмотрена машиной M ’ в числе первых n×m n конфигураций. Таким образом, если машина M допускает, то машина M ’ также допускает, т.е. L(M) = L(M ’ ). “

Отметим, что работа построенной детерминированной машины M ’ может потребовать экспоненциально большего времени, чем время работы недетерминированной машины M, которую она моделирует. Разница между полиномиальным и экспоненциальным временем - это граница того, что можно решить с помощью компьютера, а что практически нерешаемо.

Теорема. Если M недетерминированная машина Тьюринга с емкостной сложностью S(n), то найдется детерминированная машина Тьюринга M ’ с емкостной сложностью O(S 2 (n)) и L(M ’ ) = L(M).

Доказательство. Пусть M недетерминированная машина Тьюринга (возможно k-ленточная) с емкостной сложностью S(n). Тогда число различных конфигураций, в которые машина M может попасть из начальной с входом длины n, не превосходит некоторого числа c S (n) , точнее ½Q½(½X½+1) k S(n) (S(n)) k , где k – число лент. Тогда число переходов от конфигурации C 1 к конфигурации C 2 (С 1 ├ С 2) на любой из лент не превосходит c S (n) . Можно выяснить, существует ли переход С 1 ├ С 2 за 2i шагов, проверив для всех C 3 существует ли переход С 1 ├ С 3 и С 3 ├ С 2 за i шагов. После каждого обращения к процедуре число i уменьшается вдвое.

Идея моделирования машиной M ’ работы машины M приведена в доказательстве предыдущей теоремы. Стратегия работы машины M ’ -

установить приведет ли начальная конфигурация C 0 к какой-нибудь допускающей конфигурации C f . Чтобы найти верхнюю емкостную границу для машины M ’ , расположим конфигурации (длины O(S(n))) на стеках того же размера. В каждый момент времени число фрагментов стека не превосходит 1+ log éc S (n) ù , т.е. O(S(n)). Для всего стека машины M потребуется O(S 2 (n)) ячеек. “

Теорема. Если язык L допускается k-ленточной недетерминированной машиной Тьюринга M = (X, Q, q 0 , F, I) с временной сложностью T(n), то он допускается одноленточной недетерминированной машиной с временной сложностью O(T 2 (n)).

Доказательство. Пусть M 1 одноленточная недетерминированная машина Тьюринга, имеющая на ленте 2k дорожек, т.е. ленточные символы машины M 1 представляются 2k-членными кортежами, в которых на нечетных местах стоят символы алфавита X, а на четных – либо символ L, либо маркер #. Дорожки с нечетными номерами соответствуют k лентам машины M, а каждая дорожка с четным номером 2j содержит символ L во всех ячейках, кроме одной, где стоит маркер #, отмечающий положение головки машины M на ленте j, которой соответствует дорожка 2j-1. Машина M 1 моделирует один шаг работы машины M следующим образом. Допустим, что вначале головка машины M 1 обозревает клетку, содержащую самую левую головку машины M.

Головка машины M 1 движется вправо, пока не минует все k маркеров положений головок на дорожках с четными номерами. При этом M 1 запоминает в своем состоянии символы, обозреваемые каждой из головок машины M. Теперь M 1 делает недетерминированное развлетвление, исходя из состояния машины M, которое машина M 1 запомнила в своем состоянии, и обозреваемых машиной M на лентах символов, которые машина M 1 также нашла.

Выбрав для моделирования шаг машины M, машина M 1 изменяет в соответствии с ним состояние машины M, которое она помнит в своем состоянии. Затем M 1 сдвигает свою головку влево и проходит все маркеры, изменяя ленточный символ на дорожке над маркером и сдвигая маркер не более чем на одну клетку (L,R,S).

Машина M 1 промоделировала один шаг работы машмны M. Действия машины M 1 на этом шаге детерминированы. Ее головка находится правее левого маркера не более чем на две ячейки. Начиная с этого маркера цикл можно повторить.

Если машина M допускает цепочку w длины n, то совершает при этом не более T(n) переходов. Очевидно, что в последовательности из T(n) шагов головки мащины M могут разойтись не более чем на T(n) клеток, и, значит, M 1 может смоделировать один шаг этой последовательности не более чем за O(T(n)) своих шагов. Таким образом, M 1 допускает цепочку w, выполняя не более чем O(T 2 (n)) переходов. Отсюда следует, что M 1 допускает язык L и имеет временную сложность O(T 2 (n)). “

Следствие 1. Если язык допускается k-ленточной детерминированной машиной Тьюринга с временной сложностью T(n), то он допускается одноленточной детерминированной машиной Тьюринга с временной сложностью O(T 2 (n)). “

Следствие 2 . Если язык L допускается k-ленточной недетерминированной машиной Тьюринга с емкостной сложностью S(n), то он допускается одноленточной недетерминированной машиной Тьюринга с емкостной сложностью S(n). “

Следствие 3. Если язык допускается k-ленточной детерминированной машиной Тьюринга с емкостной сложностью S(n), то он допускается одноленточной детерминированной машиной Тьюринга с емкостной сложностью S(n). “

Имитация машины Тьюринга на компьютере и компьютера на машине Тьюринга.

К основным компонентам вычислительной машины относятся оперативная память и процессор. Программы и данные, представленные в двоичном алфавите, помещаются в память. При выполнении программы отдельные ее команды и нужные данные извлекаются из памяти в процессор и наоборот – значения, получаемые при выполнении команд, записываются в ячейки памяти.

Память состоит из некоторого числа запоминающих ячеек (регистров), предназначенных для промежуточного хранения значений операндов и для хранения другой информации, необходимой для выполнения команд, регистров для управления запоминающими ячейками, адресов ячеек и полей самих ячеек.

Процессор состоит из устройства управления (УУ) и арифметического устройство (АУ). Устройство управления содержит счетчик тактов, команд и т.д., вырабатывает управляющие сигналы для выполнения команд, передачи данных и т.д. Процессор содержит регистры операндов, линии связи и линии задержки для непосредственной реализации процессов вычислений.

Наряду с процессором и памятью компьютеру необходимы еще устройства ввода/вывода.

Имитация машины Тьюринга на компьютере. Пусть M - машина Тьюринга, одним из составляющих которой является ее конечное управление. Поскольку M имеет конечное число состояний и конечное число правил перехода, программа компьютера может закодировать состояния в виде цепочек символов, как и символы ее внешнего алфавита, и использовать таблицу переходов машины M для преобразования цепочек. Бесконечную ленту машины Тьюринга можно имитировать сменными дисками, размещаемыми в двух магазинах, соответственно для данных, расположенных слева и справа от считывающей головки на ленте. Чем дальше в магазине расположены данные, тем дальше они от головки на ленте.

Для имитации компьютера на машине Тьюринга существенны две вещи:

Существуют ли инструкции, выполняемые компьютером, и недоступные для машины Тьюринга;

Работает ли компьютер быстрее машины Тьюринга, т.е. более, чем полиномиальная зависимость разделяет время работы компьютера и машины Тьюринга при решении какой-то проблемы.

Неформальная модель реального компьютера :

Память, состоящая из последовательности слов и их адресов. В качестве адресов будут использоваться натуральные числа 0,1, …;

Программа компьютера, записанная в слова памяти, каждое из которых представляет простую инструкцию. Допускается “непрямая адресация” по указателям;

Каждая инструкция использует конечное число слов и изменяет значение не более одного слова;

Имеются слова памяти с быстрым доступом (регистры), но скорость доступа к различным словам влияет лишь на константный сомножитель, что не искажает полиномиальную зависимость.

Возможная конструкция машины Тьюринга для имитации компьютера

представлена на рис.

Рис стр 369

Машина имеет несколько лент. Первая лента представляет всю память компьютера – адреса и значения (в двоичной системе). Адреса заканчиваются маркером *, значения – маркером #. Начало и конец записей 1-й ленты обозначаются маркером $. Вторая лента – “счетчик инструкций”, содержит одно двоичное целое, представляющее одну из позиций считываюшей головки на первой ленте, адрес инструкции, которая должна быть выполнена следующей. Третья лента содержит адрес и значение по нему после того, как этот адрес устанавливается на первой ленте. Для выполнения инструкции машина Тьюринга должна найти значение по одному или нескольким адресам памяти, где хранятся данные, участвующие в вычислении. Нужный адрес копируется на ленту 3 и сравнивается с адресами на ленте 1 до совпадения. Значение по этому адресу копируется на третью ленту и перемещается на нужное место, как правило, по одному из начальных адресов, представляющих регистры компьютера. Четвертая лента имитирует входной файл. Пятая лента - рабочая память, служит для выполнения вычислений. Допускающая инструкция машины Тьюринга соответствует выводу на печать в выходном файле.

Функционирование такой имитирующей машины:

1.Найдя на 1-й ленте адрес, совпадающий с номером инструкции на 2-й ленте, исследуем значение по нему и копируем на 3-ю ленту. Первые биты инструкции задают действие (копировать, вставить, ветвиться и т.д.), оставщиеся биты – адрес или адреса, используемые в этом действии.

2. Если в инструкции содержится значение по некоторому адресу, то этот адрес копируется на 3-ю ленту, а позиция инструкции на 2-ю дорожку 1-й ленты.

a) скопировать по другому адресу;

Второй адрес извлекается из инструкции, помещается на 3-ю ленту, находится на 1-й ленте и значение по нему копируется в зарезервированное для него пространство. Если для нового значения надо больше (меньше) памяти, чем для старого, пространство изменяется путем сдвига, а именно,

(1) на рабочую ленту копируется часть ленты справа от того места, куда надо поместить новое значение;

(2) новое значение записывается на 1-ю ленту;

(3) рабочая часть копируется обратно на 1-ю ленту справа от нового значения.

b) прибавить найденное значение по другому адресу;

Ищем второй адрес на первой ленте, выполняем сложение значения по этому адресу и записанному на 3-й ленте.

c) перейти к выполнению инструкции по адресу, записанному на 3-й ленте, для чего лента 3 копируется на ленту 2, и цикл инструкций начинается снова.

4. Выполнив инструкцию (не являющуюся переходом), прибавляем 1 к счетчику на ленте 2 и вновь начинаем цикл инструкции.

Теперь надо убедиться, что если проблему можно решить за полиномиальное время на компьютере, то ее можно решить за полиномиальное время на машине Тьюринга и наоборот. Как следует из доказанных выше теорем, достаточно использовать многоленточную машину Тьюринга, так как различие во времени работы одноленточной и многоленточной машин Тьюринга полиномиально.

Время работы машины Тьюринга, имитирующей компьютер

Введем следующие ограничения на модель компьютера:

Ни одна компьютерная инструкция не должна порождать слово, длиннее, чем на 1 бит, своих операндов.

Инструкция, применяемая к словам длины m должна выполняться не более, чем за 0(m 2) шагов на многоленточной машине Тьюринга.

Назовем такие операции допустимыми.

Этим условиям удовлетворяют сложение, сдвиг на 1 бит, сравнение значений, которые выполняются на многоленточной машине Тьюринга за 0(m) шагов. А также умножение m-битовых целых, если его имитировать с помощью m последовательных сложений со сдвигами на 1 бит влево. Время выполнения операции умножения будет пропорционально квадрату длины сомножителей. .

Теорема. Для компьютера, обладающего указанными свойствами, описанная выше модель машины Тьюринга может имитировать m шагов компьютера не более, чем за 0(m 3)шагов.

Доказательство. Вначале первая лента содержит только программу компьютера, длина которой не зависит от n (числа шагов выполнения инструкций). Наибольшее из компьютерных слов или адресов, встречающихся в программе, обозначим через c, а через d - число слов программы.

После выполнения n шагов компьютер не может породить слово, длиннее c+n, и не может создать или использовать адрес, занимающий больше c+n битов. Каждая инструкция порождает не более одного нового адреса, получающего значение, поэтому после выполнения n инструкций имеем d+n адресов. Каждый адрес-значение занимает не более 2(c+n) +2 разрядов, а после выполнения n инструкций не больше 2(d+n)(c+n+1), или 0(n 2)

Для просмотра адресов одной инструкции компьютера требуется времени 0(n 2), слова имеют длину 0(n), а инструкции выполняются машиной Тьюринга за время 0(n 2), сдвиг для создания пространства для нового слова включает копирование данных объемом 0(n 2) с ленты 1 на рабочую ленту и обратно. Таким образом, машина Тьюринга имитирует один шаг компьютера за 0(n 2) своих шагов, а n шагов можно проимитировать за 0(n 3) шагов машины Тьюринга. “

Теорема. Выполнение n шагов работы компьютера можно проимитировать на одноленточной машине Тьюринга не более чем за 0(n 6) шагов.

Таким образом, машина Тьюринга может имитировать память и управление реального компьютера, используя только одну ленту для записи всех элементов памяти и их содержимого – регистров, основной памяти, дисков и других запомиинающих устройств. Отсюда можно быть уверенным, что все, не выполнимое машиной Тьюринга, не может быть вычислено и компьютером. “

До сих пор нам было удобно ссылаться на программистский опыт , говоря об алгоритмах, программах, интерпретаторах, пошаговом выполнении и т.д. Это позволяло нам игнорировать детали построения тех или иных алгоритмов под тем предлогом, что читатель их легко восстановит (или хотя бы поверит все-таки не каждый читатель в своей жизни писал интерпретатор паскаля на паскале).

Но в некоторых случаях этого недостаточно. Пусть, например, мы хотим доказать алгоритмическую неразрешимость какой-то задачи, в определении которой ничего не говорится о программах (в этом разделе, например, мы докажем неразрешимость проблемы равенства слов в полугруппах , заданных образующими и соотношениями). Это обычно делается так. Мы показываем, что проблема остановки сводится к этой задаче. Для этого мы моделируем работу произвольного алгоритма в терминах рассматриваемой задачи (что это значит, будет видно из приводимого ниже примера). При этом нам важно, чтобы определение алгоритма было как можно проще.

Таким образом, наш план таков. Мы опишем довольно просто определяемый класс машин (его можно выбирать по-разному, мы будем использовать так называемые машины Тьюринга), затем объявим, что всякая вычислимая функция может быть вычислена на такой машине, а затем покажем, что вопрос об остановке машины Тьюринга можно свести к вопросу о равенстве слов в полугруппе.

Другая причина, по которой важны простые вычислительные модели (таких моделей много разные виды машин Тьюринга, адресные машины и т.п.), связана с теорией сложности вычислений, когда нас начинает интересовать время выполнения программ. Но этот вопрос выходит за рамки классической теории алгоритмов.

Машины Тьюринга: определение

Машина Тьюринга имеет бесконечную в обе стороны ленту , разделенную на квадратики (ячейки ). В каждой ячейке может быть записан некоторый символ из фиксированного (для данной машины) конечного множества , называемого алфавитом данной машины. Один из символов алфавита выделен и называется " пробелом" предполагается, что изначально вся лента пуста, то есть заполнена пробелами.

Машина Тьюринга может менять содержимое ленты с помощью специальной читающей и пишущей головки , которая движется вдоль ленты. В каждый момент головка находится в одной из ячеек. Машина Тьюринга получает от головки информацию о том, какой символ та видит, и в зависимости от этого (и от своего внутреннего состояния) решает, что делать, то есть какой символ записать в текущей ячейке и куда сдвинуться после этого (налево, направо или остаться на месте). При этом также меняется внутреннее состояние машины (мы предполагаем, что машина не считая ленты имеет конечную память , то есть конечное число внутренних состояний). Еще надо договориться, с чего мы начинаем и когда кончаем работу.

Таким образом, чтобы задать машину Тьюринга, надо указать следующие объекты:

Таблица переходов устроена следующим образом: для каждой пары указана тройка . Здесь сдвиг одно из чисел -1 (влево), 0 (на месте) и 1 (направо). Таким образом, таблица переходов есть функция типа S x A -> S x A x {-1,0,1} , определенная на тех парах, в которых состояние не является заключительным.

Остается описать поведение машины Тьюринга. В каждый момент имеется некоторая конфигурация , складывающаяся из содержимого ленты (формально говоря, содержимое ленты есть произвольное отображение Z -> A ), текущей позиции головки (некоторое целое число ) и текущего состояния машины (элемент S ). Преобразование конфигурации в следующую происходит по естественным правилам: мы смотрим в таблице, что надо делать для данного состояния и для данного символа, то есть выясняем новое состояние машины, меняем символ на указанный и после этого сдвигаем головку влево, вправо или оставляем на месте. При этом, если новое состояние является одним из заключительных, работа машины заканчивается. Остается договориться, как мы подаем информацию на вход машины и что считается результатом ее работы. Будем считать, что алфавит машины, помимо пробела, содержит символы 0 и 1 (а также, возможно, еще какие-то символы). Входом и выходом машины будут конечные последовательности нулей и единиц (двоичные слова). Входное слово записывается на пустой ленте, головка машины ставится в его первую клетку, машина приводится в начальное состояние и запускается. Если машина останавливается, результатом считается двоичное слово , которое можно прочесть, начиная с позиции головки и двигаясь направо (пока не появится символ, отличный от 0 и 1 ).

Таким образом, любая машина Тьюринга задает некоторую частичную функцию на двоичных словах. Все такие функции естественно назвать вычислимыми на машинах Тьюринга .

Машины Тьюринга: обсуждение

Разумеется, наше определение содержит много конкретных деталей, которые можно было бы изменить. Например, лента может быть бесконечной только в одну сторону. Можно придать машине две ленты. Можно считать, что машина может либо написать новый символ, либо сдвинуться, но не то и другое вместе. Можно ограничить алфавит , считая, скажем, что в нем должно быть ровно 10 символов. Можно потребовать, чтобы в конце на ленте ничего не было, кроме результата работы (остальные клетки должны быть пусты). Все перечисленные и многие другие изменения не меняют класса вычислимых на машинах Тьюринга функций. Конечно, есть и небезобидные изменения. Например, если запретить машине двигаться налево, то это радикально поменяет дело по существу лента станет бесполезной, так как к старым записям уже нельзя будет вернуться.

Как понять, какие изменения безобидны, а какие нет? Видимо, тут необходим некоторый опыт практического программирования на машинах Тьюринга, хотя бы небольшой. После этого уже можно представлять себе возможности машины, не выписывая программы полностью, а руководствуясь лишь приблизительным описанием. В качестве примера опишем машину, которая удваивает входное слово (изготавливает слово XX , если на входе было слово X ).

Если машина видит пробел ( входное слово пусто), она кончает работу. Если нет, она запоминает текущий символ и ставит пометку (в алфавите помимо символов 0 и 1 будут еще их " помеченные варианты" и ). Затем она движется направо до пустой клетки, после чего пишет там копию запомненного символа. Затем она движется налево до пометки; уткнувшись в пометку, отходит назад и запоминает следующий символ и так далее, пока не скопирует все слово .

Имея некоторый опыт , можно за всеми этими фразами видеть конкретные куски программы для машины Тьюринга. Например, слова " запоминает символ и движется направо" означают, что есть две группы состояний, одна для ситуации, когда запомнен нуль, другая когда запомнена единица , и внутри каждой группы запрограммировано движение направо до первой пустой клетки.

Имея еще чуть больше опыта, можно понять, что в этом описании есть ошибка не предусмотрен механизм остановки, когда все слово будет скопировано, поскольку копии символов ничем не отличаются от символов исходного слова. Ясно и то, как ошибку исправить надо в качестве копий писать специальные символы и , а на последнем этапе все пометки удалить.

77 . Покажите, что функция " обращение", переворачивающая слово задом наперед, вычислима на машине Тьюринга.

Другой пример неформального рассуждения: объясним, почему можно не использовать дополнительных символов, кроме 0 , 1 и пустого символа. Пусть есть машина с большим алфавитом из N символов. Построим новую машину, которая будет моделировать работу старой, но каждой клетке старой будет соответствовать блок из k клеток новой. Размер блока (число k ) будет фиксирован так, чтобы внутри блока можно было бы закодировать нулями и единицами все символы большого алфавита. Исходные символы 0 , 1 и пустой будем кодировать как 0 , за которым идут (k-1) пустых символов, 1 , за которым идут (k-1) пустых символов, и группу из k пустых символов. Для начала надо раздвинуть буквы входного слова на расстояние k , что можно сделать без дополнительных символов (дойдя до крайней буквы, отодвигаем ее, затем дойдя до следующей, отодвигаем ее и крайнюю и так далее); надо только понимать, что можно идентифицировать конец слова как позицию, за которой следует более k пустых символов. Ясно, что в этом процессе мы должны хранить в памяти некоторый конечный объем информации, так что это возможно. После этого уже можно моделировать работу исходной машины по шагам, и для этого тоже достаточно конечной памяти (е конечного числа состояний), так как нам важна только небольшая окрестность головки моделируемой машины. Наконец, надо сжать результат обратно.

В заключение обсуждения приведем обещанный выше аргумент в пользу того, что любая вычислимая функция вычислима на машине Тьюринга. Пусть есть функция , которую человек умеет вычислять. При этом, он, естественно, должен использовать карандаш и бумагу, так как количество информации , которое он может хранить " в уме", ограничено. Будем считать, что он пишет на отдельных листах бумаги. Помимо текущего листа, есть стопка бумаг справа и стопка слева; в любую из них можно положить текущий лист , завершив с ним работу, а из другой стопки взять следующий. У человека есть карандаш и ластик. Поскольку очень мелкие буквы не видны, число отчетливо различимых состояний листа конечно, и можно считать, что в каждый момент на листе записана одна буква из некоторого конечного (хотя и весьма большого) алфавита. Человек тоже имеет конечную память , так что его состояние есть элемент некоторого конечного множества . При этом можно составить некоторую таблицу, в которой записано, чем кончится его работа над листом с данным содержимым, начатая в данном состоянии (что будет на листе, в каком состоянии будет человек и из какой пачки будет взят следующий лист ). Теперь уже видно, что действия человека как раз соответствуют работе машины Тьюринга с большим (но конечным) алфавитом и большим (но конечным) числом внутренних состояний.

Маши́на Тью́ринга (МТ) - абстрактный исполнитель (абстрактная вычислительная машина). Была предложена Аланом Тьюрингом в 1936 году для формализации понятия алгоритма .

Машина Тьюринга является расширением конечного автомата и, согласно тезису Чёрча - Тьюринга , способна имитировать все другие исполнители (с помощью задания правил перехода), каким-либо образом реализующие процесс пошагового вычисления, в котором каждый шаг вычисления достаточно элементарен.

Устройство машины Тьюринга

В состав машины Тьюринга входит бесконечная в обе стороны лента (возможны машины Тьюринга, которые имеют несколько бесконечных лент), разделённая на ячейки, и управляющее устройство , способное находиться в одном из множества состояний . Число возможных состояний управляющего устройства конечно и точно задано.

Управляющее устройство может перемещаться влево и вправо по ленте, читать и записывать в ячейки ленты символы некоторого конечного алфавита. Выделяется особый пустой символ, заполняющий все клетки ленты, кроме тех из них (конечного числа), на которых записаны входные данные.

Управляющее устройство работает согласно правилам перехода , которые представляют алгоритм, реализуемый данной машиной Тьюринга. Каждое правило перехода предписывает машине, в зависимости от текущего состояния и наблюдаемого в текущей клетке символа, записать в эту клетку новый символ, перейти в новое состояние и переместиться на одну клетку влево или вправо. Некоторые состояния машины Тьюринга могут быть помечены как терминальные , и переход в любое из них означает конец работы, остановку алгоритма.

Машина Тьюринга называется детерминированной , если каждой комбинации состояния и ленточного символа в таблице соответствует не более одного правила. Если существует пара «ленточный символ - состояние», для которой существует 2 и более команд, такая машина Тьюринга называется недетерминированной .

Описание машины Тьюринга

Конкретная машина Тьюринга задаётся перечислением элементов множества букв алфавита A, множества состояний Q и набором правил, по которым работает машина. Они имеют вид: q i a j →q i1 a j1 d k (если головка находится в состоянии q i , а в обозреваемой ячейке записана буква a j , то головка переходит в состояние q i1 , в ячейку вместо a j записывается a j1 , головка делает движение d k , которое имеет три варианта: на ячейку влево (L), на ячейку вправо (R), остаться на месте (N)). Для каждой возможной конфигурации имеется ровно одно правило. Правил нет только для заключительного состояния, попав в которое машина останавливается. Кроме того, необходимо указать конечное и начальное состояния, начальную конфигурацию на ленте и расположение головки машины.

Пример машины Тьюринга

Приведём пример МТ для умножения чисел в унарной системе счисления . Машина работает по следующему набору правил:

Набор правил	Набор правил
q 0 ×→q 1 ×R
	q 6 ×→q 7 ×R
q 2 ×→q 3 ×L
q 3 1 → q 4 aR
q 4 ×→q 4 ×R

Умножим с помощью МТ 3 на 2 в единичной системе:

В протоколе указаны начальное и конечное состояния МТ, начальная конфигурация на ленте и расположение головки машины (подчёркнутый символ).

Полнота по Тьюрингу

Основная статья : Полнота по Тьюрингу

Можно сказать, что машина Тьюринга представляет собой простейшую вычислительную машину с линейной памятью, которая согласно формальным правилам преобразует входные данные с помощью последовательности элементарных действий .

Элементарность действий заключается в том, что действие меняет лишь небольшой кусочек данных в памяти (в случае машины Тьюринга - лишь одну ячейку), и число возможных действий конечно. Несмотря на простоту машины Тьюринга на ней можно вычислить всё, что можно вычислить на любой другой машине, осуществляющей вычисления с помощью последовательности элементарных действий. Это свойство называется полнотой .

Один из естественных способов доказательства того, что алгоритмы вычисления, которые можно реализовать на одной машине, можно реализовать и на другой, - это имитация первой машины на второй.

Имитация заключается в следующем. На вход второй машине подаётся описание программы (правил работы) первой машины D и входные данные X , которые должны были поступить на вход первой машины. Нужно описать такую программу (правила работы второй машины), чтобы в результате вычислений на выходе оказалось то же самое, что вернула бы первая машина, если бы получила на вход данные X .

Как было сказано, на машине Тьюринга можно имитировать (с помощью задания правил перехода) все другие исполнители, каким-либо образом реализующие процесс пошагового вычисления, в котором каждый шаг вычисления достаточно элементарен.

На машине Тьюринга можно имитировать машину Поста , нормальные алгоритмы Маркова и любую программу для обычных компьютеров, преобразующую входные данные в выходные по какому-либо алгоритму. В свою очередь, на различных абстрактных исполнителях можно имитировать Машину Тьюринга. Исполнители, для которых это возможно, называются полными по Тьюрингу (Turing complete).

Есть программы для обычных компьютеров, имитирующие работу машины Тьюринга. Но следует отметить, что данная имитация неполная, так как в машине Тьюринга присутствует абстрактная бесконечная лента. Бесконечную ленту с данными невозможно в полной мере имитировать на компьютере с конечной памятью (суммарная память компьютера - оперативная память, жёсткие диски, различные внешние носители данных, регистры и кэш процессора и др. - может быть очень большой, но, тем не менее, всегда конечна).

Варианты машины Тьюринга

Модель машины Тьюринга допускает расширения. Можно рассматривать машины Тьюринга с произвольным числом лент и многомерными лентами с различными ограничениями. Однако все эти машины являются полными по Тьюрингу и моделируются обычной машиной Тьюринга.

Машина Тьюринга, работающая на полубесконечной ленте

В качестве примера такого сведения рассмотрим следующую теорему: Для любой машины Тьюринга существует эквивалентная машина Тьюринга, работающая на полубесконечной ленте.

Рассмотрим доказательство, приведённое Ю. Г. Карповым в книге «Теория автоматов». Доказательство этой теоремы конструктивное, то есть мы дадим алгоритм, по которому для любой машины Тьюринга может быть построена эквивалентная машина Тьюринга с объявленным свойством. Во-первых произвольно занумеруем ячейки рабочей ленты МТ, то есть определим новое расположение информации на ленте:

Затем перенумеруем ячейки, причём будем считать, что символ «*» не содержится в словаре МТ:

Наконец, изменим машину Тьюринга, удвоив число её состояний, и изменим сдвиг головки считывания-записи так, чтобы в одной группе состояний работа машины была бы эквивалентна её работе в заштрихованной зоне, а в другой группе состояний машина работала бы так, как исходная машина работает в незаштрихованной зоне. Если при работе МТ встретится символ ‘*’, значит головка считывания-записи достигла границы зоны:

Начальное состояние новой машины Тьюринга устанавливается в одной или другой зоне в зависимости от того, в какой части исходной ленты располагалась головка считывания-записи в исходной конфигурации. Очевидно, что слева от ограничивающих маркеров «*» лента в эквивалентной машине Тьюринга не используется.

Который, позаимствовав идею у Эмиля Поста, придумал её, как считается, в 1936 году. Несмотря на довольно сложное формальное определение, идея в принципе проста. Чтобы понять её, давайте прогуляемся по страницам Википедии.

Первым делом мы попадаем на страничку, которая, собственно, так и называется: «машина Тьюринга ».

Машина Тьюринга

Машина Тьюринга (МТ) - математическая абстракция, представляющая вычислительную машину общего вида. Была предложена Аланом Тьюрингом в году для формализации понятия алгоритма .

Машина Тьюринга является расширением модели конечного автомата и, согласно тезису Чёрча - Тьюринга , способна имитировать (при наличии соответствующей программы) любую машину, действие которой заключается в переходе от одного дискретного состояния к другому.

В состав Машины Тьюринга входит бесконечная в обе стороны лента , разделённая на ячейки, и управляющее устройство с конечным числом состояний.

Управляющее устройство может перемещаться влево и вправо по ленте, читать и записывать в ячейки символы некоторого конечного алфавита. Выделяется особый пустой символ, заполняющий все клетки ленты, кроме тех из них (конечного числа), на которых записаны входные данные.

В управляющем устройстве содержится таблица переходов , которая представляет алгоритм, реализуемый данной Машиной Тьюринга. Каждое правило из таблицы предписывает машине, в зависимости от текущего состояния и наблюдаемого в текущей клетке символа, записать в эту клетку новый символ, перейти в новое состояние и переместиться на одну клетку влево или вправо. Некоторые состояния Машины Тьюринга могут быть помечены как терминальные , и переход в любое из них означает конец работы, остановку алгоритма.

Машина Тьюринга называется детерминированной , если каждой комбинации состояния и ленточного символа в таблице соответствует не более одного правила, и недетерминированной в противном случае.

Итак, машина Тьюринга - математическая абстракция , умозрительное построение человеческого разума: в природе её нет. Или есть? Сразу приходит на ум, как работает живая клетка . Хотя бы два примера.

1. Для производства белков в клетке с помощью сложно устроенного фермента - РНК-полимеразы - считывается информация с ДНК, своего рода информационной ленты машины Тьюринга. Здесь, правда, не происходит перезапись ячеек самой ленты, но в остальном процесс весьма похож: РНК-полимераза садится на ДНК и двигается по ней в одном направлении, при этом она синтезирует нить РНК - нуклеиновой кислоты, сходной с ДНК. Готовая РНК, отсоединяясь от фермента, несёт информацию к клеточным органеллам, в которых производятся белки.

2. Ещё более похож на машину Тьюринга процесс исправления ошибок в ДНК - её репарация. Здесь ДНК-полимераза вместе с другими белками двигается по ленте ДНК и считывает обе её половинки (геномная ДНК, как известно, представляет собой две переплетенных нити, несущих одну и ту же информацию). Если информация в половинках не совпадает, ДНК-полимераза принимает одну из них за образец и «правит» другую.

Такая аналогия не нова, и в Википедии она тоже описана в статье «Молекулярный компьютер »:

Молекулярный компьютер

Биомолекулярные вычисления или молекулярные компьютеры или даже ДНК - или РНК -вычисления - все эти термины появились на стыке таких различных наук как молекулярная генетика и вычислительная техника.

Биомолекулярные вычисления - это собирательное название для различных техник, так или иначе связанных с ДНК или РНК. При ДНК-вычислениях данные представляются не в форме нулей и единиц, а в виде молекулярной структуры, построенной на основе спирали ДНК. Роль программного обеспечения для чтения, копирования и управления данными выполняют особые ферменты .

Основой всей системы хранения биологической информации, а стало быть, и ДНК-компьютеров, является способность атомов водорода , входящих в азотистые соединения (аденин , тимин , цитозин и гуанин), при определенных условиях притягиваться друг к другу, образуя невалентно связанные пары. С другой стороны, эти вещества могут валентно связываться с сочетаниями молекулы сахара (дезоксирибозы) и фосфата , образуя так называемые нуклеотиды . Нуклеотиды, в свою очередь, легко образуют полимеры длиной в десятки миллионов оснований. В этих супермолекулах фосфат и дезоксирибоза играют роль поддерживающей структуры (они чередуются в цепочке), а азотистые соединения кодируют информацию.

Молекула получается направленной: начинается с фосфатной группы и заканчивается дезоксирибозой. Длинные цепочки ДНК называют нитями, короткие - олигонуклеотидами. Каждой молекуле ДНК соответствует еще одна ДНК - так называемое дополнение Ватсона - Крика . Она имеет противоположную направленность, нежели оригинальная молекула. В результате притяжения аденина к тимину и цитозина к гуанину получается знаменитая двойная спираль, обеспечивающая возможность удвоения ДНК при размножении клетки. Задача удвоения решается с помощью специального белка-энзимы - полимеразы. Синтез начинается только если с ДНК прикреплен кусочек ее дополнения, Данное свойство активно используется в молекулярной биологии и молекулярных вычислениях. По сути своей ДНК + полимераза - это реализация машины Тьюринга , состоящая из двух лент и программируемого пульта управления. Пульт считывает данные с одной ленты, обрабатывает их по некоторому алгоритму и записывает на другую ленту. Полимераза также последовательно считывает исходные данные с одной ленты (ДНК) и на их основе формирует ленту как бы с результатами вычислений (дополнение Ватсона - Крика).

Немножко фантастические перспективы только подогревают наше любопытство. Между тем, мы еще не всё выяснили относительно машины Тьюринга. Как вы помните, в статье из Википедии её назвали расширением конечного автомата. Что же это такое конечный автомат? На него, к счастью, даётся ссылка. Заходя по ней, узнаём, что:

Конечный автомат

Абстрактные автоматы образуют фундаментальный класс дискретных моделей как самостоятельная модель, и как основная компонента машин Тьюринга , автоматов с магазинной памятью , конечных автоматов и других преобразователей информации.

С каждым определением мы всё больше вторгаемся в область чистой математики. Язык становится строже, появляются формальные определения, состоящие из математических символов. Если двигаться дальше, мы придём к теории алгоритмов и теории вычислимости. Путешествовать по страницам Википедии можно долго, но лучше запастись водой и едой, на случай забредания в пустыни аксиом и определений, или хотя бы надёжными ссылками на учебники по математике, например http://www.mccme.ru/free-books/ , или статьи журнала «Потенциал» ;)

Надеюсь, после этого объяснения вам стало немного яснее, что же такое машина Тьюринга?

Давайте вернёмся к истории этого термина.

Итак, как мы уже упоминали, Алан Тьюринг поведал миру о своей машине в 1937 году в так называемом Тезисе Чёрча-Тьюринга. Про Алана Тьюринга - первого хакера и пионера информатики, как написано на мемориальной доске гостиницы, где он родился, поведает нам статья «Алан Тьюринг». Текст статьи полностью приводить здесь не будем, но она и сама по себе не очень подробная.

Алан Тьюринг

Тьюринг, Алан Матисон (23 июня 1912 - 7 июня 1954) - английский математик, логик, криптограф, изобретатель Машины Тьюринга.

В самой статье больше про труды Тьюринга: помимо текста про машину Тьюринга, который мы еще приведем дальше, повествуется о том, что он работал над «проблемой зависания» (Забавно, не так ли? Компьютеров еще не было, и системы Windows тоже, а проблема зависания уже была.); героическая история про то, как Тьюринг взломал код «Энигмы» во время Второй Мировой Войны и тем самым спас Великобританию; факт о том, что он является основателем теории искусственного интеллекта, а также упоминание о знаменитом тесте Тьюринга. Сейчас этот тест уже не так часто используется как завязка научно-фантастического рассказа, однако проблема человеческого в машине всегда останется классикой, как и романы Айзека Азимова и Станислава Лема.

Несмотря на свою старомодность, тест Тьюринга всплыл неожиданным образом в современном мире общения по интернету. К примеру, можно встретить текст диалога двух пользователей ICQ, один из которых является «ботом», и задача - определить, какой именно. Или к Вам может постучаться незнакомый пользователь, возможно, ICQ-робот. Узнаете ли вы его? Изучая теорию, Вы, возможно, сумеете вовремя применить тест Тьюринга и не останетесь обмануты. Начать изучение можно с соответствующей статьи в Википедии, а затем пройтись по ссылкам, приводимым в конце статьи:

Тест Тьюринга

Тест Тьюринга - тест, предложенный Аланом Тьюрингом в 1950 г. в статье «Вычислительные машины и разум» (Computing machinery and intelligence) для проверки, является ли компьютер разумным в человеческом смысле слова.

Судья (человек) переписывается на естественном языке с двумя собеседниками, один из которых - человек, другой - компьютер. Если судья не может надёжно определить, кто есть кто, компьютер прошёл тест. Предполагается, что каждый из собеседников стремится, чтобы человеком признали его. С целью сделать тест простым и универсальным, переписка сводится к обмену текстовыми сообщениями.

Переписка должна производиться через контролируемые промежутки времени, чтобы судья не мог делать заключения исходя из скорости ответов. (Во времена Тьюринга компьютеры реагировали медленнее человека. Сейчас это правило необходимо, потому что они реагируют гораздо быстрее, чем человек).

Тест был инспирирован салонной игрой, в ходе которой гости пытались угадать пол человека, находящегося в другой комнате, путём написания вопросов и чтения ответов. В оригинальной формулировке Тьюринга, человек должен был притворяться человеком противоположного пола, а тест длился 5 минут. Сейчас эти правила не считаются необходимыми и не входят в спецификацию теста.

Тьюринг предложил тест, чтобы заменить бессмысленный, по его мнению, вопрос «может ли машина мыслить?» на более определённый.

Тьюринг предсказал, что компьютеры в конечном счёте пройдут его тест. Он считал, что к 2000 году, компьютер с памятью 1 миллиард бит (около 119 Мб) в ходе 5-минутного теста сможет обмануть судей в 30 % случаев. Это предсказание не сбылось. (Правда, на первом конкурсе Лебнера компьютерная программа «PC Therapist» на IBM PC 386 смогла ввести в заблуждение 5 судей из 10, но ей не засчитали результат, а в 1994 году конкурс усложнили.) Тьюринг также предсказал, что сочетание «мыслящая машина» не будет считаться оксюмороном , а обучение компьютеров будет играть важную роль в создании мощных компьютеров (с чем большинство современных исследователей согласны).

Пока что ни одна программа и близко не подошла к прохождению теста. Такие программы, как Элиза (ELIZA), иногда заставляли людей верить, что они говорят с человеком, как, например, в неформальном эксперименте, названном AOLiza. Но такие «успехи» не являются прохождением теста Тьюринга. Во-первых, человек в таких беседах не имел никаких оснований считать, что он говорит с программой, в то время как в настоящем тесте Тьюринга человек активно пытается определить, с кем он беседует. Во-вторых, документированые случаи обычно относятся к таким чатам, как IRC , где многие беседы отрывочны и бессмысленны. В-третьих, многие пользователи IRC используют английский как второй или третий язык, и бессмысленный ответ программы, вероятно, спишется ими на языковый барьер. В-четвертых, многие пользователи ничего не знают об Элизе и ей подобных программах и не могут распознать совершенно нечеловеческие ошибки, которые эти программы допускают.

Ежегодно производится соревнование между разговаривающими программами, и наиболее человекоподобной, по мнению судей, присуждается приз Лебнера (Loebner). Есть дополнительный приз для программы, которая, по мнению судей, пройдёт тест Тьюринга. Этот приз ещё не присуждался.

Самый лучший результат в тесте Тьюринга показала программа A.L.I.C.E. выиграв тест 3 раза (в 2000, 2001 и 2004).

Ссылки

• Тьюринг А. М. Вычислительные машины и разум. // В сб.: Хофштадер Д., Деннет Д. Глаз разума. - Самара: Бахрах-М, 2003. - С. 47-59.
• Книга на английском: Roger Penrose «The Emperor’s New Mind».
• Статья Алана Тьюринга:
  • Alan Turing, «Computing Machinery and Intelligence», Mind, vol. LIX, no. 236, October 1950, pp. 433-460.
  • В сети:
• Статья Дж. Оппи (G. Oppy) и Д. Дави (D. Dowe) о тесте Тьюринга из Стэнфордской Философской Энциклопедии (на английском)
• «Turing Test: 50 Years Later» обзор 50-летней работы над тестом Тьюринга, с точки зрения 2000 г. (на английском).

Возвращаемся опять к машине Тьюринга. В выдержке из статьи про Алана Тьюринга утверждается, что впервые понятие машины Тьюринга было предложено в составе т. н. тезиса Чёрча-Тьюринга:

Выдержка из статьи Википедии «Алан Тьюринг»

Любая интуитивно вычислимая функция является частично вычислимой, или, эквивалентно, может быть вычислена с помощью некоторой машины Тьюринга.

Алан Тьюринг высказал предположение (известное как Тезис Чёрча-Тьюринга), что любой алгоритм в интуитивном смысле этого слова может быть представлен эквивалентной машиной Тьюринга. Уточнение представления о вычислимости на основе понятия машины Тьюринга (и других эквивалентных ей понятий) открыло возможности для строгого доказательства алгоритмической неразрешимости различных массовых проблем (то есть проблем о нахождении единого метода решения некоторого класса задач, условия которых могут варьироваться в известных пределах). Простейшим примером алгоритмически неразрешимой массовой проблемы является так называемая проблема применимости алгоритма (называемая также проблемой остановки). Она состоит в следующем: требуется найти общий метод, который позволял бы для произвольной машины Тьюринга (заданной посредством своей программы) и произвольного начального состояния ленты этой машины определить, завершится ли работа машины за конечное число шагов, или же будет продолжаться неограниченно долго.

В статье под названием «Те́зис Чёрча-Тью́ринга» про него пишут так:

Те́зис Чёрча-Тью́ринга

Те́зис Чёрча-Тью́ринга - фундаментальное утверждение для многих областей науки, таких, как теория вычислимости , информатика , теоретическая кибернетика и др. Это утверждение было высказано Алонзо Чёрчем и Аланом Тьюрингом в середине 1930-х годов.

В самой общей форме оно гласит, что любая интуитивно вычислимая функция является частично вычислимой , или, эквивалентно, может быть вычислена с помощью некоторой машины Тьюринга .

Тезис Чёрча-Тьюринга невозможно строго доказать или опровергнуть, поскольку он устанавливает «равенство» между строго формализованным понятием частично вычислимой функции и неформальным понятием «интуитивно вычислимой функции».

Физический тезис Чёрча-Тьюринга гласит: Любая функция, которая может быть вычислена физическим устройством, может быть вычислена машиной Тьюринга .

С этого перекрёстка можно двинуться в сторону, к примеру, теории вычислимости. А можно попытаться выяснить, кто такой этот загадочный Чёрч, вместе с которым Алан Тьюринг выдвинул свой тезис.

Универсальная машина Тьюринга

Универсальной машиной Тью́ринга называют машину Тьюринга , которая может заменить собой любую машину Тьюринга. Получив на вход программу и входные данные, она вычисляет ответ, который вычислила бы по входным данным машина Тьюринга, чья программа была дана на вход.

Формальное определение

Программу любой детерминированной машины Тьюринга можно записать, используя некоторый конечный алфавит, состоящий из символов состояния, скобок, стрелки и т. п.; обозначим этот машинный алфавит как Σ 1 {\displaystyle \Sigma _{1}} . Тогда универсальной машиной Тьюринга U для класса машин с алфавитом Σ 2 {\displaystyle \Sigma _{2}} и k входными лентами называется машина Тьюринга с k+1 входной лентой и алфавитом Σ 1 ∪ Σ 2 {\displaystyle \Sigma _{1}\cup \Sigma _{2}} такая, что если подать на первые k лент входное значение, а на k+1 - правильно записанный код некоторой машины Тьюринга , то U выдаст тот же ответ, какой выдала бы на этих входных данных M 1 {\displaystyle M_{1}} , или будет работать бесконечно долго, если M 1 {\displaystyle M_{1}} на этих данных не остановится.

Теорема об универсальной машине Тьюринга утверждает, что такая машина существует и моделирует другие машины с не более чем квадратичным замедлением (то есть если исходная машина произвела t шагов, то универсальная произведёт не более ct 2 ). Доказательство у этой теоремы конструктивное (такую машину несложно построить, надо только аккуратно её описать). Теорема была предложена и доказана Тьюрингом в 1936-37 г.

Программная реализация на языке программирования Delphi достаточно проста. С одной из таких реализаций можно ознакомиться на сайте http://kleron.ucoz.ru/load/24-1-0-52 . Предусмотрена возможность загрузки и сохранения в файл Excel.

Недетерминированная машина Тьюринга

Вероятностная машина Тьюринга

Обобщение детерминированной машины Тьюринга, в которой из любого состояния и значений на ленте машина может совершить один из нескольких (можно считать, без ограничения общности - двух) возможных переходов, а выбор осуществляется вероятностным образом (подбрасыванием монетки).

Вероятностная Машина Тьюринга похожа на недетерминированную машину Тьюринга, только вместо недетерминированного перехода машина выбирает один из вариантов с некоторой вероятностью.

Существует также альтернативное определение:

Вероятностная машина Тьюринга представляет собой детерминированную машину Тьюринга, имеющую дополнительно аппаратный источник случайных битов, любое число которых, например, она может «заказать» и «загрузить» на отдельную ленту и потом использовать в вычислениях обычным для МТ образом.

Класс алгоритмов, завершающихся за полиномиальное время на вероятностной машине Тьюринга и возвращающих ответ с ошибкой менее 1/3, называется классом BPP .